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| 科目代碼 | 科目名稱 | 參考書目 | 考試大綱 | 備注 |
| 828 | 高等代數(shù) | 《高等代數(shù)》（第四版），北京大學(xué)，高等教育出版社，2013年出版； |
一、考試目的與要求 要求考生系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。 二、考試范圍 1、多項(xiàng)式理論 考察多項(xiàng)式的相關(guān)概念、基本性質(zhì)、一元多項(xiàng)式的帶余除法、不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)和判定、最大公因式的性質(zhì)、三種具體數(shù)域上多項(xiàng)式的不可約分解定理。 2、行列式 理解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)、行列式的乘法法則。會(huì)應(yīng)用行列式概念和基本性質(zhì)計(jì)算行列式，能夠熟練掌握行列式按行(列)展開定理，能夠運(yùn)用遞推公式計(jì)算一些經(jīng)典類型的行列式。 3、向量和矩陣 向量的線性組合和線性表示，向量組的等價(jià)，向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系。矩陣的概念，矩陣的基本運(yùn)算，矩陣的轉(zhuǎn)置，伴隨矩陣，逆矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件，矩陣的初等變換和初等矩陣，矩陣的秩，矩陣的等價(jià)，分塊矩陣及其運(yùn)算。 4、線性方程組 線性方程組的克萊姆法則，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，非齊次線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解，解空間及維數(shù)，非齊次線性方程組的通解。 5、二次型 二次型及其矩陣表示，非退化線性替換與矩陣合同，二次型的秩與慣性定理，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性。 6、線性空間 線性空間的概念與基本性質(zhì)，線性空間的維數(shù)、基與向量的坐標(biāo)，線性空間中的基變換與坐標(biāo)變換，過渡矩陣，線性子空間及其運(yùn)算，線性空間的同構(gòu)。 7、線性變換 線性變換的概念和簡單性質(zhì)，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，線性變換(矩陣)的特征值、特征向量和特征子空間，線性變換的特征多項(xiàng)式及Hamilton-Caylay定理，矩陣相似的概念及性質(zhì)，矩陣可對(duì)角化的充分必要條件，線性變換的值域與核，線性變換的不變子空間，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。 8、歐幾里德空間 線性空間內(nèi)積的定義及其性質(zhì)，歐幾里德空間的概念，標(biāo)準(zhǔn)正交基，施密特正交化過程，正交矩陣，正交變換及其性質(zhì)，正交子空間、正交補(bǔ)及其性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量，對(duì)角化，歐幾里德空間的同構(gòu)。 主要參考書目: 《高等代數(shù)》，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，2013年8月第4版，高等教育出版社出版 三、試題結(jié)構(gòu) 1.考試時(shí)間：3小時(shí) 2.試題類型： 填空題30%，計(jì)算題15%，證明題55% |
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| 643 | 數(shù)學(xué)分析 | 數(shù)學(xué)分析 (上、下冊(cè)，第四版)，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社出版。 | 一、考試目的與要求 掌握函數(shù)概念及性質(zhì)、數(shù)列極限的概念及計(jì)算；掌握實(shí)數(shù)基本定理、函數(shù)極限概念理論及計(jì)算；掌握函數(shù)連續(xù)性概念、理論；掌握導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義及計(jì)算；掌握一元函數(shù)中值定理及應(yīng)用；掌握不定積分計(jì)算、定積分計(jì)算及應(yīng)用；掌握數(shù)值級(jí)數(shù)審斂法、反常積分審斂法；掌握函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂概念和判別方法；掌握冪級(jí)數(shù)基本概念、基本性質(zhì)和基本理論；了解傅里葉級(jí)數(shù)基本概念、基本性質(zhì)和基本理論；多元函數(shù)的極限與連續(xù)；多元函數(shù)微分學(xué)；了解隱函數(shù)定理；掌握含參變量積分、變限積分和線面積分。 二、考試范圍 1. 函數(shù)： 實(shí)數(shù)概述，區(qū)間與鄰域，函數(shù)概念，有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)和偶函數(shù)，周期函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，基本初等函數(shù)，初等函數(shù)。 2. 數(shù)列極限： 數(shù)列極限定義，收斂數(shù)列的性質(zhì)及運(yùn)算，單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理，兩個(gè)重要極限。 3. 實(shí)數(shù)的基本定理： 確界存在定理，區(qū)間套定理，Cauchy準(zhǔn)則，聚點(diǎn)原理，有限覆蓋定理，上下極限。 4. 函數(shù)極限： 極限定義、性質(zhì)，Heine定理，單側(cè)極限，Cauchy準(zhǔn)則，無窮小量及其階的比較，記號(hào)o， O，～，廣義極限，無窮大量及其階的比較。 5. 函數(shù)的連續(xù)性： 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性，單側(cè)連續(xù)，間斷點(diǎn)及其分類，函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)的局部有界性，保號(hào)性，有理運(yùn)算。復(fù)含函數(shù)連續(xù)性，有齊閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，反函數(shù)連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。 6. 導(dǎo)數(shù)與微分： 導(dǎo)數(shù)定義，單側(cè)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，無窮大導(dǎo)數(shù)，和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；微分概念，微分的幾何意義，微分的運(yùn)算法則，一階微分形式的不變性，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，高階導(dǎo)數(shù)與高階微分，由參量方程所表示的曲線的斜率。7. 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用： 費(fèi)馬(Fermat)定理，羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(lagrange)中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)定理(泰勒公式及其拉格朗日型余項(xiàng))，近似計(jì)算，函數(shù)單調(diào)性的判別法，極值，最大值與最小值，曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線，函數(shù)圖象的討論，羅比塔(L′Hospital)法則。 8. 不定積分： 原函數(shù)與不定積分概念，基本積分表，線性運(yùn)算法則，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)積分法，三角函數(shù)有理式的積分，幾種無理函數(shù)的積分. 9. 定積分： 定積分定義，幾何意義，可積的必要條件，上和、下和及其性質(zhì)，可積的充要條件，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)、在閉區(qū)間只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)、單調(diào)有界函數(shù)的可積性，定積分性質(zhì)，微積分學(xué)基本定理，牛頓—萊布尼茨公式，換元積分法，分部積分法，近似計(jì)算。 10. 定積分的應(yīng)用： 簡單平面圖形面積，曲線的弧長與弧微分，曲率，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體積與側(cè)面積，平均值，物理應(yīng)用(壓力、功、靜力矩與重心等)。 11. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)： 級(jí)數(shù)收斂與和的定義，柯西準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)，比較原則，比式判別法與根式判別法，拉貝(Raabe)判別法與高斯判別法，一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，交錯(cuò)級(jí)數(shù)，萊不尼茨判別法，阿貝爾(Abel)判別法與狄利克雷(Dirichlet)判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的重排定理，條件收斂級(jí)數(shù)的黎曼(Riemann)定理。 12. 反常積分： 無窮限反常積分概念，柯西準(zhǔn)則，線性運(yùn)算法則，絕對(duì)收斂，反常積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系，無窮限反常積分收斂性判別法。 無界函數(shù)反常積分概念，無界函數(shù)反常積分收斂性判別法。 13. 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)： 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯(Weierstrass)優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法*，函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的連續(xù)性，逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分。 14. 冪級(jí)數(shù)： 阿貝爾第一定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，一致收斂性，收斂性，連續(xù)性逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算。泰勒級(jí)數(shù)，泰勒展開的條件，初等函數(shù)的泰勒展開近似計(jì)算，用冪級(jí)數(shù)定義正弦、余弦函數(shù)。 15. 傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)： 三角級(jí)數(shù)，三角函數(shù)系的正交性，傅里葉級(jí)數(shù)、貝塞爾(Bessel)不等式，黎曼—勒貝格(Riemann-lebesgue)定理，傅里葉級(jí)數(shù)的部分和公式，按段光滑且以2π為周期的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，以2L為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。 16. 多元函數(shù)的極限與連續(xù)： 平面點(diǎn)集概念(鄰域、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、開集、閉集、開域、閉域等)。平面點(diǎn)集的基本定理—區(qū)域套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理。二元函數(shù)概念。二重極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。n維空間與n元函數(shù)(距離、三角形不等式、極限、連續(xù)等)。 17. 多元函數(shù)的微分學(xué)： 偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，方向?qū)?shù)與梯度，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式的不變性，高階導(dǎo)數(shù)及其與順序無關(guān)性，高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)極值。 18. 隱函數(shù)定理的及其應(yīng)用： 隱函數(shù)概念，隱函數(shù)定理，隱函數(shù)求導(dǎo)。 隱函數(shù)組概念，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式，函數(shù)相關(guān)。幾何應(yīng)用，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。 19．含參量積分： 含參量積分概念，連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換。含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準(zhǔn)則，維爾斯特拉斯判別法，連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換，Γ函數(shù)與B函數(shù)。 20. 重積分： 平面圖形面積，二重積分定義與存在性，二重積分性質(zhì)，二重積分計(jì)算(化為累次積分)，二重積分的換元法(極坐標(biāo)變換與一般變換)。三重積分定義與計(jì)算，三重積分的換元法(柱坐標(biāo)變換、球坐標(biāo)變換與一般變換)。重積分應(yīng)用(體積，曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等)。n重積分。無界區(qū)域上及無界函數(shù)反常二重積分的收斂性概念。 21. 曲線積分與曲面積分： 第一型和第二型曲線積分概念與計(jì)算，格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)條件。曲面的側(cè)，第一型和第二型曲面積分概念與計(jì)算，奧斯特羅格拉特斯基一高斯公式，斯托克斯公式、場論初步(場的概念，梯度、散度、旋度）。 三、試題結(jié)構(gòu) 1.考試時(shí)間：3小時(shí) 2.試題類型：選擇題15%，填空題15%，計(jì)算題30%，證明題40% |
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